Paradoja sobre el número π. Sufrida en primera persona
Se tiene un segmento de longitud 2·R y sobre él se traza un arco de semicircunferencia de tal forma que su centro caiga sobre la mitad del segmento, teniendo por tanto radio R. La longitud de dicha semicircunferencia es:
L= π·R
Se dibujan ahora 2 semicircunferencias sobre el mismo segmento. Su radio será ahora R/2. La longitud total de estas dos semicircunferencias será:
L’=2·[π·(R/2)]=π·R
Ahora se dibujan cuatro semicircunferencias sobre el mismo segmento. Su radio será R/4. La longitud total será:
L”=4·[π·(R/4)]=π·R
Si continuamos este proceso hasta llevarlo a su límite, es decir, infinitas semicircunferencias infinitesimales sobre dicho segmento se tendría que la longitud será:
*Gracias a @vientoblanko por avisar del gran error en la operación anterior. La operación sería:
No obstante el resultado es el mismo.
Por otro lado hemos partido de que ese segmento medía, efectivamente, 2·R. En consecuencia:
2·R=π·R;
y como R es distinto de cero, se puede concluir que:
π=2
Venga, a ver si somos capaces de encontrar el error, si es que lo hay 
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21 julio 2010 a 2:44
He querido poner un enlace a esta nota en Facebook, pero la URL, con ese ‘pi’ que se transforma en un conjunto de símbolos ‘raros’ lo impide. Un saludo.
Juan Luis
21 julio 2010 a 13:25
Si la longitud de n arcos es n·(π·r), siendo r el radio de cada arco, cuando n tiende a infinito se forma una indeterminación de tipo cero por infinito.
Gráficamente, si consigues situar n semicircunferencias en un segmento finito, ocurrirá que cuando n tiende a infinito, las circunferencias tendrán radio nulo, luego ya no habrá arcos, sino que serán puntos que conformarán un segmento coincidente con el original.
Pinciano
21 julio 2010 a 16:43
¿?
La longitud de n semicrcunferencias es:
L= n·[π·R/n]= π·R no existe ningún tipo de indeterminación, ya que:
lim (n->infinito) de π·R = π·R (la variable n ha desaparecido)
Cuando n tiende a infinito, el radio TIENDE A cero, pero NUNCA es cero, por la propia definición de límite. Nunca las semicircunferencias serán exactamente puntos. Si así fuera la herramienta poderosa que suponen los límites carecería de utilidad.
Argumentación inválida
Juan Pérez
21 julio 2010 a 16:47
Además de que aunque fuera L=n·(π·r) no hay esa indeterminación, porque la variable es n, no r. r es una constante. Se tendría, en todo caso:
L=infinito·π·r = infinito. pero vamos, que no es el caso.
Juan Pérez
21 julio 2010 a 16:59
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21 julio 2010 a 17:28
No hay error ninguno, π vale 2, todo el mundo lo sabe, jajaja.
No, a ver, realmente no lo tengo del todo claro, pero yo diría que el error está justo en la última igualdad, cuando se dice que la longitud total de las semicircunferencias es igual al valor del segmento de partida. Ya lo has explicado tú antes de hecho. Estamos hablando de límites. El radio de esas semicircunferencias tiende a cero, pero no lo es. No son puntos, siguen siendo semicircunferencias. La unión de todas ellas no es pues un segmento de línea recta, sería una línea “(micro)ondulada” por decirlo de alguna manera gráfica, pero no una recta. Y, por lo tanto, la última igualdad resultaría falsa.
Si no tengo razón, te agradecería que me solucionaras el enigma, porque tampoco es plan de comerme la cabeza por estas cosas a mis años, jajaja
.
Raúl FerCa
22 julio 2010 a 0:20
En el límite sería una recta no una línea microondulada. No es ese el problema creo yo
Juan Pérez
22 julio 2010 a 4:10
Me tuviste toda la tarde pensando. Pensé que era más facil de lo que es, pero pienso que realmente el “error” o paradoja está en la forma de describir la ecuación.
Pienso que la expresión tiene qué considerar el número de círculos dentro del círculo mayor.
Si R=1, c = 1 mediocírculo.
Si R=1/2, c = 2 mediocírculos
Si R=1/3, c = 3 mediocírculos hasta la muerte..
De tal manera que r*c = 1.
Creo que la paradoja es que se trata de un semicírculo (círculo dividido entre 2), y que se requiere de dos veces el radio para determinar una circunferencia.
En cierta forma, si P(1 circulo)=pi*2*r*(1 círculo)/2
P(2 círculos) = pi*2*r*(2 círculos)/2
y pues considerando que son medios-círculos, pos 2/2=1
Mientras el número de círculos tiende a infinito (divisiones de R), el tamaño de R de cada segmento tiende a 0.
=S
memolink1
22 julio 2010 a 2:21
Gracias por el aporte, pero no acabo de entender el argumento. ¿A dónde quieres llegar?
Juan Pérez
22 julio 2010 a 13:35
yo me lo imagino como el tema de las “ondas” y sus “frecuencias”.
si inviertes los círculos uno sí y uno no, tienes una onda.
Si haces que la frecuencia tienda a infinito, como consecuencia, la longitud de la onda o radio es r/infinito=0
al tratar de calcular el perímetro de cada “frecuencia” tienes p=pi*r
memolink1
22 julio 2010 a 17:32
Igual estoy un poco perdido porque hace bastante tiempo que dejé de lado el cálculo infinitesimal pero la ecuación que planteas creo que tiene un error en la resolución. Me explico.
El límite que comentas se trata de una indeterminación del tipo: infinito/infinito y por lo tanto una indeterminación que, en mi opinión, has resuelto de una forma errónea al simplificar las “n”.
Un caso parecido y que puede venir a cuento es el siguiente:
(Ax=Bx | AB) => Ax·1/x = Bx·1/x => A=B
En ese caso se ha olvidado el valor x=0 de modo que se ha dividido en ambos casos por (1/x | x=0) y eso es una indeterminación.
Kuve
22 julio 2010 a 13:53
Una mejor manera de decirlo es que creo que le has dado una pequeña patada a las matemáticas y el cálculo infinitesimal al resolver una indeterminación del tipo infinito/infinito aplicando el siguiente teorema sacado de la manga:
infinito/infinito = 1
Kuve
22 julio 2010 a 13:56
Se pueden simplificar la “n” perfectamente. Vamos, lo he hecho miles de veces….
Juan Pérez
22 julio 2010 a 14:24
Es que aquí R es distinto de cero, ergo se puede simplificar.
Juan Pérez
22 julio 2010 a 14:27
A ver, lo que estás midiendo continuamente es la longitud de los arcos, no de la recta, que es 2R. Por lo tanto, no tiene sentido relacionarlos con una igualdad.
Alberto
22 julio 2010 a 13:53
Yo creo que el problema está en las hipótesis planteadas para calcular el limite.
Cuando la unión de círculos deja de comportarse como tal y pasa a ser una linea (n = infinito) ya no se puede aplicar la fórmula L= π·R.
Sino tendríamos que la longitud de cualquier linea es L= π·R, dónde R = L/2 y 2 = π.
OhSiNena
22 julio 2010 a 13:55
algo así es, pero hay que encontrar la demostración matemática del error
Juan Pérez
22 julio 2010 a 14:26
Ten en cuenta que n nunca toma exactamente el valor infinito, de ahí que usemos “límites”
Juan Pérez
22 julio 2010 a 14:41
[...] This post was mentioned on Twitter by Tomedo, Borja Reinares and mar gonzalez sanou, Juan. Juan said: Sigue sin resolverse el misterio de π = 2 http://bit.ly/cMkSbk ¿Algún matemático en la sala? [...]
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22 julio 2010 a 13:58
Aún no he dado con la tecla, pero de entrada en la formulación creo que se debería cambiar la “n” por “2^n”, puesto que la “n” no toma los valores 1, 2, 3, 4, 5… sino los valores 1, 2, 4, 8, 16…
Según esto, sería lim[2^n · PI · R/2^n] = lim[PI · R]
Pero estamos en las mismas porque sigo viendo simplificable el 2^n arriba y abajo.
Le seguiré dando al coco. Menuda putada me has hecho al enseñarme esto.
Jorge
22 julio 2010 a 16:28
Pero, entonces al final igualas la suma total de todos los arcos al segmento…?
Como llegas a la conclusión de que el segmento es igual a la suma de todas las semicircunferencias?
Anónimo
28 octubre 2010 a 14:17
Tomando límites
Juan Pérez
28 octubre 2010 a 18:01
The answer, my friend, is blowing inthe wind.
En fin que me voy… que en mi blog (http://eliatron.blogspot.com/2010/10/el-segmento-de-puntos-gordos-o-por-que.html) acabo de publicar un par de explicaciones a esta paradoja.
Fractales o Convergencia Uniforme y derivabilidad.
Tito Eliatron
28 octubre 2010 a 17:34